\input dmmac

\serie1

\task
Ur�ete sou�et �ady
$$
\sum_{i=0}^{n-1} (2i+1),
$$
neboli sou�et prvn�ch $n$ lich�ch p�irozen�ch ��sel.
Nezapome�te podrobn� zd�vodnit (resp. dok�zat), jak jste do�li k v�sledku.
\body{2}

\task
Nech� $X$ a $Y$ jsou dv� mno�iny (�pln� libovoln�).
Poctiv� form�ln� doka�te, �e
$$
X=Y \iff 2^X=2^Y.
$$
V�razem $2^X$ rozum�me mno�inu v�ech podmno�in mno�iny $X$.
\body3

\task
M�te navrhnout sadu z�va�� na rovnoramenn� v�hy.
Na levou misku se polo�� p�edm�t s celo��selnou v�hou od 1 do $n$,
na pravou misku z�va��, misky se mus� vyrovnat. Na cvi�en� jsme si zd�vodnili,
�e jako z�va�� dob�e poslou�� mocniny dvojky. Ur�ete p�esn� vzorec v z�vislosti na $n$, kolik
minim�ln� t�chto z�va��cek pot�ebujeme k odv�en� p�edm�t�.
D�le doka�te, �e nem��e existovat co do po�tu men�� sada, kter� by odv�ila
v�echny p�edm�ty, a to ani kdy� povol�me jin� hodnoty, ne� mocniny 2.
\body3

\bye

