Úkoly z diskrétní matematiky, 5. série

Veškerá tvrzení precizně zdůvodněte.

(5.1) Kolik je všech regulárních matic tvaru n × n nad tělesem ℤ_{p}? 5 bodů (5.2) Odvoďte vzorec pro součet ∑_{i=1}^{n} i^{3}. Skutečně ho odvoďte, tedy ne že ho jen

najdete v nějaké encyklopedii a dokážete třeba indukcí. Hint: inspirujte se odvozením vzorce pro součet čtverců. 5 bodů

(5.3) Mějme x ∈ ℝ libovolné takové, že výraz x + \frac{1}{x} je celé číslo. Dokažte, že

potom pro každé n ∈ ℕ je výraz x^{n} + \frac{1}{x^{n}} také celé číslo. 5 bodů (5.4) Dokažte, že pro každé k ∈ ℕ a každé n ∈ ℕ výraz (k!)^{n} dělí (kn)!. 5 bodů