\input dmmac

\serie5


\task
Kolik je v�ech regul�rn�ch matic tvaru $n\times n$ nad t�lesem $\Z_p$?
\body5

\task
Odvo�te vzorec pro sou�et $\sum_{i=1}^n i^3$.
Skute�n� ho odvo�te, tedy ne �e ho jen najdete v n�jak� encyklopedii a dok�ete t�eba indukc�.
Hint: inspirujte se odvozen�m vzorce pro sou�et �tverc�.
\body5

\task
M�jme $x\in\R$ libovoln� takov�, �e v�raz $x+{1\over x}$ je cel� ��slo.
Doka�te, �e potom pro ka�d� $n\in\N$ je v�raz $x^n+{1\over x^n}$ tak� cel� ��slo.
\body5

\task
Doka�te, �e pro ka�d� $k\in\N$ a ka�d� $n\in\N$ v�raz $(k!)^n$ d�l� $(kn)!$.
\body5

\bye

