Úkoly z Kombinatoriky a grafů, 6. série

Veškerá tvrzení precizně zdůvodněte.

(6.1) Dokažte platnost následujícího vzorce:

\frac{1}{(1 − x)^{n}} = \binom{n − 1}{n − 1} + \binom{n}{n − 1}x + \binom{n + 1}{n − 1}x^{2} + \binom{n + 2}{n − 1}x^{3} + …

Předpokládejte při tom, že n je přirozené číslo a x je takové reálné číslo, že obě strany rovnosti jsou dobře definovány (konečná čísla). 4 body

(6.2) Určete koeficient u x^{50} v polynomu (x^{7} + x^{8} + x^{9} + …)^{6}. 4 body