\input dmmac
\input epsf
\hsize=15cm
\vsize=30cm

\centerline{\bf P�semka z line�rn� algebry, skupina A}

\medskip
Pokuste se v r�mci (�asov�ch) mo�nost� v�e pe�liv� od�vodnit.
Pou��v�n� libovoln� elektroniky je zak�z�no, literaturu (se�it, u�ebnice, \dots) pou��vat m��ete.
Na �e�en� m�te 30 minut.
Sou�et v�ech bod� je 12.


\task
�e�te soustavu rovnic $\bold A\bold x=\bold b$ pro:
$$
\bold A=\pmatrix
6 & 3 & 2 & 3 & 4\cr
4 & 2 & 1 & 2 & 3\cr
4 & 2 & 3 & 2 & 1\cr
2 & 1 & 7 & 3 & 2
\endpmatrix,\;
\bold b=\pmatrix
5\cr 4\cr 0\cr 1
\endpmatrix
$$
\body6

\task
Najd�te nenulovou matici $\bold A$ takovou, �e $\bold A\bold A = \bold 0$.
\body3

\task
Nech� $\bold A$ je matice. Doka�te, �e $\bold A\bold A^T$ je v�dy symetrick�.
\body3


\vskip 7cm


\centerline{\bf P�semka z line�rn� algebry, skupina B}
\taskcnt=0

\medskip
Pokuste se v r�mci (�asov�ch) mo�nost� v�e pe�liv� od�vodnit.
Pou��v�n� libovoln� elektroniky je zak�z�no, literaturu (se�it, u�ebnice, \dots) pou��vat m��ete.
Na �e�en� m�te 30 minut.
Sou�et v�ech bod� je 12.


\task
�e�te soustavu rovnic $\bold A\bold x=\bold b$ pro:
$$
\bold A=\pmatrix
6 & 3 & 2 & 3 & 4\cr
4 & 2 & 1 & 2 & 3\cr
4 & 2 & 3 & 2 & 1\cr
2 & 1 & 7 & 3 & 2
\endpmatrix,\;
\bold b=\pmatrix
3\cr 2\cr 2\cr 3
\endpmatrix
$$
\body6

\task
Najd�te dv� symetrick� matice $\bold A$ a $\bold B$ (navz�jem n�sobiteln�) tak, �e $\bold A\bold B\neq \bold B\bold A$.
\body3

\task
Nech� $\bold A$ je matice. Doka�te, �e $\bold A\bold A^T$ je v�dy symetrick�.
\body3


\bye
