\input dmmac
\input epsf
\hsize=15cm
\vsize=30cm

\centerline{\bf P�semka z line�rn� algebry, skupina A}

\medskip
Pokuste se v r�mci (�asov�ch) mo�nost� v�e pe�liv� od�vodnit.
Pou��v�n� libovoln� elektroniky je zak�z�no, literaturu (se�it, u�ebnice, \dots) pou��vat m��ete.
Na �e�en� m�te 30 minut.
Sou�et v�ech bod� je 11.


\task
Invertujte v t�lese $\Z_3$ matice:
$$
\bold A=\pmatrix
2 & 0 & 1 & 0\cr
1 & 2 & 0 & 1\cr
2 & 1 & 1 & 0\cr
1 & 0 & 1 & 1
\endpmatrix,\quad
\bold B=\pmatrix
1 & 1 & 0 & 0\cr
1 & 2 & 1 & 1\cr
1 & 1 & 2 & 0\cr
0 & 1 & 2 & 1
\endpmatrix
$$
\body6


\task
Doka�te, �e ve vektorov�m prostoru $V$ nad t�lesem $T$ plat�
$$
\forall u\in V: -(-u)=u,
$$
tedy �e opa�n� vektor od opa�n�ho vektoru od $u$ je op�t p�vodn� vektor $u$.
D�kaz prove�te d�sledn� form�ln�, �ili v ka�d�m kroku v�dy pou��vejte
v�dy jeden axiom vektorov�ho prostoru nebo t�lesa (a nic jin�ho!). Zd�vod�ujte, kter� axiom
zrovna pou��v�te (nap�. vzorcem, formul�, slovy). D�vejte si t� pozor na spr�vn� uz�vorkov�n�
(nap�. u v�razu $a+b+c$ je pot�eba dodat z�vorky, proto�e nen� jasn�, kter� operace se m� ud�lat d��ve),
zkr�tka na v�echny n�le�itosti a detaily.
\body5


\vskip 5cm


\centerline{\bf P�semka z line�rn� algebry, skupina B}
\taskcnt=0

\medskip
Pokuste se v r�mci (�asov�ch) mo�nost� v�e pe�liv� od�vodnit.
Pou��v�n� libovoln� elektroniky je zak�z�no, literaturu (se�it, u�ebnice, \dots) pou��vat m��ete.
Na �e�en� m�te 30 minut.
Sou�et v�ech bod� je 11.

\task
Invertujte v t�lese $\Z_5$ matice:
$$
\bold A=\pmatrix
2 & 0 & 1 & 0\cr
1 & 2 & 0 & 1\cr
2 & 1 & 1 & 0\cr
1 & 0 & 1 & 1
\endpmatrix,\quad
\bold B=\pmatrix
1 & 1 & 0 & 0\cr
1 & 2 & 1 & 1\cr
1 & 1 & 2 & 0\cr
0 & 1 & 2 & 1
\endpmatrix
$$
\body6

\task
Doka�te, �e v nekomutativn�m t�lese $T$ plat�
$$
\forall a\in T\setminus\{0\}: (a^{-1})^{-1} = a,
$$
tedy �e inverzn� prvek k inverzn�mu prvku od $a$ je op�t p�vodn� prvek $a$.
D�kaz prove�te d�sledn� form�ln�, �ili v ka�d�m kroku v�dy pou��vejte
v�dy jeden axiom t�lesa (a nic jin�ho!). Zd�vod�ujte, kter� axiom
zrovna pou��v�te (nap�. vzorcem, formul�, slovy). D�vejte si t� pozor na spr�vn� uz�vorkov�n�
(nap�. u v�razu $a+b+c$ je pot�eba dodat z�vorky, proto�e nen� jasn�, kter� operace se m� ud�lat d��ve),
zkr�tka na v�echny n�le�itosti a detaily.
\body5



\bye
